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Généralités

 

v Introduction :

 

Physique & biologie ?

       ® Filière scientifique, non ?

 

Prétention de la physique : compréhension d’objets inertes, des plus petits aux plus grands.

 

Physique ancienne :

Le voyage sur la Lune était déjà, théoriquement, possible

(Il manquait juste des petits détails pratiques…)

+ Concept de continuité de la matière (lumière, matériaux comme une planche de bois)

 

Or, c’est faux !

La lumière est discontinue (émission de particules), une planche de bois n’est qu’un assemblage de vide.

® Physique moderne : Changement de vision des choses

Tout est discontinu

Maintenant, il est possible de calculer une probabilité de position d’un électron autours d’un atome.

 

v Les objets de l’univers :

Ø  L’univers :

 

Âge :           13,7.109 ans

Soit      4,32.1017 secondes

 

Son origine est le BIG-BANG, une explosion de matière dont de la lumière. De là, on peut deviner sa taille :

v = d / t      d = c . t = 3.108 m.s–1 . 4,32.1017 s.

 

Taille :        1,3.1026 m.

 

Une telle distance est inconcevable en mètres, il faut chercher une autre unité : les années–lumière (= la distance que la lumière parcourt en 1 année)

1 année-lumière     = 365 . 24 . 3 600 . 3.108

                               = 9,48.1015 m

Taille :        13,7.109 années-lumière.

 

Ø  Le domaine humain :

= dimensions à l’échelle humaine :

 

Plus grand : quelques dizaines ou centaines de kilogrammes, mètres, secondes, heures ou jours. Plus petit : quelques micromètres.

 

Ø  L’atome :

 

Ordre de grandeur : l’angström    1 Å  =  10–10 m.

 

Il est constitué d’un noyau et d’électrons. Le noyau est constitué de A nucléons.

                                                                                                         dont  Z protons,

                                                                                                                 + A – Z neutrons.

L’ensemble des protons – neutrons constitue les nucléons (composés chacun de 3 quarks)

 

Tout atome est neutre : les électrons sont au même nombre que les protons : Z.

Un élément chimique est défini par le nombre Z de protons dans le noyau.

 

La masse de la matière est exclusivement dans le noyau.             m = 1,66.10–27 kg. La masse d’un électron est 1836 fois moindre.

 

                   Noyau                         100 m de vide                         Électron

 


                   ( 1mm)                                                                                   ( 1 µm)

Dimensions . 1012

Ø  Notion de temps :

 

Univers

Temps de vie :

13,7.109 ans = 4,7.1017 s

Homme

Temps de vie :

75 ans = 2.109 s

Atome

Période de vibration :

10–14 s

Noyau

Temps de la lumière pour le traverser :

3.10–24 s

 

v Interactions entre ces objets :

Ø  Interaction gravitationnelle :

= force de gravité.

Découverte par Newton.

= Force entre 2 objets massiques.

                   m1 . m2

FG  =  G .                                       G = 6,67.10–11 MKSA

                        d²

C’est elle qui gouverne le cosmos, le mouvement des planètes, les marées, la gravité.

 

Ø  Interaction électromagnétique :

 

= Force entre 2 objets chargés.

               1              q1 . q2                        1

FE  =                   .                                                  = 9.109 MKSA

          4. π . e0           d²                     4. π . e0

 

C’est cette force qui gère l’interaction entre 2 objets chargés, mais aussi les frottements (résistance) La charge électrique en mouvement entraîne une force magnétique sur une autre charge électrique.

Le noyau pose problème : les protons (particules chargées à l’intérieur du noyau) se repoussent.

 

Ø  Interaction nucléaire forte :

 

Elle assure la cohésion du noyau et la cohésion des quarks dans le nucléon. Leur découverte reste empirique : on ne visualise que leurs effets. On sait que leur portée est petite, de l’ordre du noyau (10–15 m) et suffisamment forte pour contrecarrer la force électromagnétique.

 

Ø  Interaction nucléaire faible :

 

Elle permet de modifier les quarks de type U en type D et vice–versa. Cela entraîne la transformation de proton en neutron et réciproquement.

 

Elle est 106 moins forte que l’interaction nucléaire forte et sa portée est de 10–18 m. Mais elle explique le phénomène de fusion des atomes d’Hydrogène en atome d’Hélium dans le soleil. Sans cette fusion il n’y a pas d’énergie nucléaire, donc pas de soleil et donc aucune vie possible sur la Terre.

 

Proton (charge +)      "     Neutron  +  b+  +  1 neutrino

A                               A               0

   X         "          Y     +  b+  +  1 neutrino

Z                             Z–1              1

Þ  Radioactivité b +                                b+ : électron qui porte une charge + e  (= anti–électron)

                                                                  Neutrino : particule sans masse (ou très faible)

                                                                              qui a une interaction quasi nulle

avec la matière.

 

Neutron             "     Proton  +  bˉ  +  1 antineutrino

A                               A

   X         "          Y     +  bˉ  +  1 antineutrino

Z                             Z+1

Þ  Radioactivité bˉ                                 bˉ : électron « classique » qui porte une charge – e.

On utilise le « b » pour indiquer que cet électron n’est pas originaire du cortège électronique.

bˉ et b+  =  particule et antiparticule.

 

La rencontre d’une particule avec son antiparticule entraîne une disparition de la matière et une libération d’énergie sous forme de photons.

 

Ce processus est utilisé dans l’imagerie médicale avec l’émission de b+ qui, une fois qu’ils rencontrent de la matière, rencontrent forcément des électrons.

 


                                                                              Rayonnement g

                                          ( b+ ; )                   et disparition de la matière.

 

Comprendre un atome avec la précision la plus fine :

" Comprendre un noyau :

       9 Calcul des 4 interactions entre les nucléons 2 à 2.

 

Possible quand il n’y en a pas trop, comme l’Hydrogène ou Hélium…

Après cela devient vite impossible, même pour un ordinateur…

 

+  Calcul des 4 interactions avec et dans le cortège électronique.

 

C’est déjà fini avant d’avoir commencé…

                                                                  Alors essayer de comprendre 2 atomes...

 

À l’échelle macroscopique :

On ne considère pas les manifestations des interactions entre les atomes ; il suffit de travailler avec les forces gravitationnelles et coulombienne.

 

À l’échelle de l’atome :

On ne cherche pas à voir ce qui se passe à l’intérieur du noyau ; il suffit de travailler avec la force coulombienne (la force gravitationnelle est négligeable)

 

À l’échelle du noyau :

On ne travaille qu’avec les interactions Proton – Proton : la force coulombienne et l’interaction nucléaire forte.

 

Même avec 2 forces seulement, c’est déjà compliqué…

 

v Mesures d’une grandeur – Outils et méthodes :

 

Expérience  "  mesures  "  corrélation entre les des différentes mesures.

 

Les quantités fondamentales : Longueur – Temps – Masse – Intensité électrique

 

Les unités du Système International SI ou MKSA :

                               Longueur : le Mètre, m

                               Masse : le Kilogramme, kg

                               Temps : la Seconde, s

                               Intensité de courant : l’Ampère, A

 

                   +          Température : le Kelvin, K

                               Quantité de matière : la Mole, mol

 

Ø  La longueur :

 

10–6 m

1 µm (cellule)

10–9 m

1 nm (molécule)

10–10 m

1 Å (atome)

10–12 m

1 pm = 1 picomètre

10–15 m

1 fm (noyau)

 

Défini par un mètre étalon en alliage de titane. Mais une définition vis–à–vis d’un objet est risquée car l’objet peut être perdu.

" 1 mètre = distance parcourue par la lumière en un temps de 1/299792458 seconde.

 

 

 

10–3 kg

1 g

10–6 kg

1 mg

10–9 kg

1 µg

10–12 kg

1 ng

10–18 kg

1 fg

Ø  La masse :

 

Défini par un kilogramme étalon, il en existe 10 exemplaires précieusement gardés.

 

= propriété de tout objet qui, lorsqu’il est en présence d’un autre objet, l’attire.

 

1 atome : 1,66 . 10–27 kg

" 1u.m.a   = 1 unité de masse atomique

                   = 1/12 de la masse d’un atome de carbone 12C.

 

La masse d’une mole (soit NA atomes) de 12C = 12 g

 

                                  1 . 12 . 10–3

Donc  1 u.m.a  =                                =  1,66 . 10–27 kg

                               12 . 6,03 . 1023

 

Ø  Le temps :

 

Au départ, on observait une périodicité (jour–nuit ; saisons)

Maintenant, on définit la seconde à partir des vibrations de l’atome de Césium 133.

" 1 seconde = le temps que l’atome de Césium vibre 9 192 631 770 fois.

 

On obtient un temps différent selon que l’on est au niveau de la mer ou en altitude : ceci est dû à la gravitation.

 

Ø  L’énergie :

 

La masse peut disparaître : ce n’est pas une unité fiable. L’énergie est partout et est fiable. C’est une quantité fondamentale dans le sens où, sans énergie, on ne fait rien.

 

Exemple : les réserves de pétrole :

À activité constante (sans tenir compte de l’émergence de la Chine et de l’Inde), elles seront vides dans 50 à 70 ans.

 

Unité :

-          En MKSA : le Joule

-          En cm g s : l’erg

-          Pour l’atome : l’eV

 

1 eV = l’énergie donnée à un électron quand on le soumet à un potentiel de 1 Volt.

103 eV

1 keV

106 eV

1 MeV

 

E  =  q . V 

    =  1,6 . 10–19 Coulomb . 1 Volt

    =  1,6 . 10–19 Joule

 

Ø  Dimension et analyse dimensionnelle :

 

Soit :           [ L ] ; [ M ] et [ T ]

 

Distance = d Û [ L ]                                      Vitesse = v = d/t Û [ L ] . [ T ]–1

 

       Accélération = a = v/t Û [ L ] . [ T ]–2                       Force = m.a Û [ M ] . [ L ] . [ T ]–2

 

Énergie = ?             On recherche des expressions de l’énergie :

 

       E = m.c2 = [ M ] . [ L ]2 . [ T ]–2

       E = m.g.h = m.a.h = [ M ] . [ L ]2 . [ T ]–2                   ( g = a)

 

Avec 2 expressions, on obtient une même dimension : ça ne veut pas dire que l’on a forcément bon, mais ça veut au moins dire que cette relation n’est pas délirante.

 

    1 Joule    =  1 kg . (1 m)2 . (1 s)–2

                   =  103 g . 1002 cm2 . s–2

                   =  107 g.cm2.s–2

                   =  107 erg.

 

Soit 2 grandeurs A et B :

 

Si A = B                      Þ        [ A ] = [ B ]

Mais         Si [ A ] = [ B ]              ¹>       A = B

 

 

E  =  h . n  =  h . c  /l                       h = 6,626 . 10–34  J.s

 

       E  =  k /l                   

      (eV)      (Å)                  

 

" Trouvons k :

Soit la gamme du visible : 4000 à 8000 Å

                   (m.s–1)

       E  =  h . c /l

      (J)     (J.s)      (m)

 

      (eV)      6,626 . 10–34 . 3 . 108 . 1010 (Å.s–1)                12 400  (eV. Å)  =  k

        E  =                                                               =

                             1,6 . 10–19  .  l  (Å)                                 l  (Å)

 

Si    l  =  4 000 Å  alors    E = 3,1 eV

       l  =  8 000 Å alors    E = 1,55 eV

 

                                                                  T  =  période  =  f( m, g, l )

                                   

                                                                  T  =  m A . g B . C

                                                        m, g                                                    [ g ] = [ L ] . [ T ]–2

        T

                                                                  [ T ]1  =  [ m ] A . [ g ] B . [ ] C

 


                                                                  [ T ]1  =  [ M ] A . [ L ] B . [ T ] –2B . [ L ] C

 

 [ T ]1  =  [ L ] 0 . [ T ] 1 . [ M ] 0

 

Donc :        –2B = 1           Þ        B = – ½

                                                      A = 0

                   B + C = 0        Þ        C = ½

 

D’où :                     T  =  (ℓ /g) . 2π 

 

Ø  Chiffres significatifs :

 

On peut :   Compter  "  valeur exacte

                   Mesurer  "  incertitude

 

Soit une longueur mesurée                         =  41,55  cm

On émet des doutes sur le dernier chiffre, on ne garde que 3 chiffres significatifs.

 

Autre exemple :

 

                   E  =  a . C                                            avec C  =  2 250

 

On mesure :           E  =  30,85 keV           Þ        a  =  0,013 711 111 11

 

Si on reprend le calcul de E avec des valeurs plus ou moins précises de a déterminée à partir de la mesure :

a  =  0,013 711 111 11

E = 30,85

a  =  0,013 711

E = 30,84975

a  =  0,013 71

E = 30,8475

a  =  0,013 7

E = 30,825

a  =  0,014

E = 31,5

a  =  0,01

E = 22,5

 

 

Ø  Les incertitudes sur les mesures :

 

Soit             La mesure d’une grandeur X donnant un résultat x,

                   Et le résultat réel : x0.

 

L’erreur :               e  =  x – x0                   Soit positive, soit négative.

 

L’incertitude :       Dx  =  |e|                   On prend toujours l’arrondi au dessous.

 

L’incertitude relative :      Dx / x0                        Problème : on ne connaît pas x0 !

                                                                  "        Dx / x

 

Exemple :

 

La masse du soleil  =  1,9889  ±  0,0030     1030 kg

 

       DM /M  =  0,0020 /1,9889  =  1,508 . 10–3

 

La masse de la Terre  =  5,974  ±  0,009     1024 kg

 

       DM /M  =  0,009 /5,974  =  1,506 . 10–3

 

Mesure directe :

 

On mesure :           x          "        Dx   =   DR   +   Dx    +   D xE

 

                                                             Réglage    Lecture    Étalonnage

 

Mesure indirecte :

                                                                  On a mesuré :

                            B                          DB                                        A  avec une erreur DA

                                                                                         B  avec une erreur DB

       A

 


    DA                                

 

Périmètre  =  2  (A+B)  =  P

 

                   "  DP  =  (PMAXPMIN)/2                

 

                                   2 (A + DA + B + DB)    2 (A – DA + B – DB)

                               =

                                                                       2

 

                               =  2 (DA + DB)                                                P0  =  P  ±  DP

 

Surface  =  A . B  =  S

 

                   "  DS  =  (SMAXSMIN)/2                 

 

                                   (A + DA) . (B + DB)    (A – DA) . (B – DB)

                               =

                                                                   2

                                   A.B + A.DB + DA.B + DA.DB    A.B + A.DB + DA.B – DA.DB

                               =

                                                                              2

                               =  A . DB  +  DA . B

 

SV  =  S  ±  DS

                                                D f                d f

    f’(x)  =                        =

D x (x " 0)       d x

 

       S  =  f ( a , b )

                                                       d S                      d S

dS  =               . da   +                . db

                                                      d a                       d b

 

                         =    b . da  +  a . db

 

                                dS                       dS

Þ      DS  =               . Da   +                           . Db   =   b . Da  +  a . Db

                                da                       db

 

Exemples de fonction :

Soit une grandeur G

et 2 quantités mesurées a et b.

 

Relation :

Dérivée :

Incertitude :

G = a + b

dG = da + db

DG = Da + Db

G = a – b

dG = da – db

DG = Da + Db

G = a . b

dG = a.db + b.da

DG = |a|.Db + |b|.Da

G = a / b

                         a.db – b.da

             dG =

                                b2

                   |a|.Db + |b|.Da

           DG =

                               b2

G = am

dG = m.am–1 . da

DG = |m.am–1| Da

G = ea

dG = ea . da

DG = ea . Da

G = ln( a )

dG = da  / a

DG = Da  / a

TP émission a :

Y

 

                                          yB

 

 

                                          yA

 

 

                                                                   xA                     xB                  X

 

L  =  ( X2 + Y2 )              X =  xB   xA      et       Y =  yB   yA    

                                                                              Avec les incertitudes : DxA, DxB, DyA, DyB.

 

L2  =  X2 + Y2              que l’on dérive :

 

2L . dL  =  2X . dX  +  2Y . dY

 

                   dL  =  X/L . dX  +  Y/L . dY

 

           |X|              |Y|

                   DL  =         . DX  +           . DY

             L                  L

 

Mesure d’une grandeur fixe :                                                      (rare)

 

 


                                x

                                                                  x

 

                          x

                                                                  x

 

                                   x

                                                                  x

 

 

Domaine de compatibilité    

 

 

" Ça vaut le coût de faire plusieurs mesures de la même grandeur.

 

 

Mais il n’est pas possible d’effectuer plusieurs fois la mesure d’une même grandeur dans un système dynamique !

 

 

Mesure de 2 grandeurs :

 


                   Y

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                             X

 

Comportement linéaire :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


" Soit la loi n’est pas linéaire ; soit la dernière valeur n’est pas bonne.

 

Comptage d’un phénomène géré par une probabilité :

 

Exemple : la probabilité qu’un traitement donné a un effet donné sur une espèce donnée.

 

On fait systématiquement une erreur statistique en ne prenant pas en compte des fluctuations.

 

      

Nombre de

lapins morts

 

 

 

 


                                                                              " Distribution de Poisson

 

 

 

                                                                                                     Nombre de fois

que l’on trouve

n lapins morts.

 

 

v Notion de relativité :

 

Soit 2 repères :       R, le repère fixe et R’, le repère mobile.

       Et les vitesses : v, la vitesse de quelqu’un qui marche à pied par rapport à R ;

                               v’, la vitesse d’un train par rapport à R ;

                               V, la vitesse de quelqu’un qui marche dans un train et dans le même sens de déplacement que ce dernier par rapport à R.

 

       R                                 R’

 

v

                                                      v’                      v

                                                                                           V = v’ + v

 

 

       0                                 0’

 

       xB – xA        Dx

v =               =

       tB – tA         Dt

 

La vitesse de la lumière :

 

Pendant quelques millisecondes, on peut considérer que la Terre a un mouvement rectiligne uniforme.

La mesure de la vitesse de la lumière dans R et R’ est la même

 

Or, avec la mécanique classique c’est impossible : remise en cause totale !

 

Travaux d’Einstein :

 

                   xA        xB                                            x’A       x’B

R                                                        R’

                   tA         tB                                            t’A        t’B

 

 

                   xB – xA                                                x’B – x’A       

v   =                                                    v’   =

                   tB – tA                                                 t’B – t’A        

 

                        xB – xA      ¹              x’B – x’A      

 

Or :                                                 v   =   v’

 

Donc :                 tB – tA      ¹               t’B – t’A   

" Le temps n’est plus une grandeur absolue.

 

Cela remet en cause toutes les théories incluant le temps.

 

               m0

m  =                                                           m : masse      ;     m0 : masse au repos

         (1 – v2/c2)

 

10 ans après, les mathématiciens ont démontré que cette formule est la seule à pouvoir expliquer ce phénomène.

 

                                                                        m0 . v

Impulsion d’une particule  =   p  =  m.v  = 

                                                                    (1 – v2/c2)

E0  =  m0 . c2

                                          m0 . c2    

ETotal  =  ET  =  m.c2  =                                            ET  =  E0 + EC

                                       (1 – v2/c2)                                         m0 . c2

                                                                                         =  

      (1 – v2/c2)

               m0 . c2

EC  =                           E0     =      m0 . c2  (1 – v2/c2)½ – 1

    (1 – v2/c2)

 

On travaille régulièrement avec des vitesses largement inférieures à la vitesse de la lumière :

 

                   (1+e)N =  1 + Ne + N(N–1) e2/2! +

 

(1 – v2/c2)½  =  1 – ½ . (– v2/c2)  =  1 + ½(v2/c2)

 

EC  =  m0 . c2 . (v2/2c2)  =  ½ m0 . v2

 

" Il s’agit de la forme classique de l’énergie cinétique.

 

Que se passe–t–il si l’on travaille avec les électrons ?

 

m0 = 9,1 . 10–31 kg            E0 = 9,1 . 10–31 . (3 . 108)2 = 8,9 . 10–14 J = 511 keV

                                                                                         Valeur de référence à connaître.

 

Calcul de la vitesse d’un électron :

 

                                             m0 . c2                      E0

 ET   =    E0 + EC    =                           =

(1 – v2/c2)         (1 – v2/c2)

                               E0                                                                          E0           2

(1 – v2/c2)  =                                                      (1 – v2/c2)  =

                          E0  +  EC                                                                E0  +  EC

 


                               E0        2                   E0                           E0

(v2/c2)  =  1 –                        =     1 +                    .    1 –             

                          E0  +  EC                   E0  +  EC                E0  +  EC

 

                                                                         ½

                          EC                  2 . E0 + EC        

( v/c )  =                           . 

                     E0  +  EC               E0  +  EC              

 

 

" Il s’agit de la forme relativiste (= absolue) utilisable pour toutes les particules.

 

Avec la physique classique, on obtient :

 

Ec  =  ½ . m0 . v2  =  ½ . m0 . c2 . (v2 /c2)

 

(v2 /c2)  =  2.EC /m0

 

( v/c )  =  √(2.EC /m0)

 

Pour un électron à différentes énergies cinétiques :

 

EC

( v/c) classique

( v/c) relativiste

Écart

E0/100  =  5,11 keV

0,141

0,140

0,7 %

E0/10  =  51,1 keV

0,447

0,416

7 %

E0  =  511 keV

1,414

0,866

 63 %

Et encore, on n’a pas pris de grandes énergies cinétiques ; dans une réaction nucléaire, un électron peut avoir quelques MeV.

 

Déjà, via la méthode de la physique classique, la dernière valeur est délirante :

L’électron serait 1,4 fois plus rapide que la lumière !?  ...

 

                                                 E0                                     Si :       v          " c,

 ET   =    E0 + EC    =                                                              v/c       " 1,

(1 – v2/c2)                                       v2/c2    " 1,

                                                           1 – (v2/c2)       " 0,

                                                           √(1 – v2/c2)     " 0,

                                                           E0 /(1 – v2/c2) "

Le calcul relativiste est nécessaire pour une particule ayant une vitesse supérieure à 0,1 c. Avant, l’approximation de la physique classique est admise.

 

                        E0

 ET   =                                    

(1 – v2/c2)   

 

                        E02                                                                 m0 . v

 ET2  =                                                            Impulsion p  =

(1 – v2/c2)                                                        √(1 – v2/c2)  

 

     m02 . v2 . c2                                                           m02 . v2 . c2

p2 . c2  =                                             p2 . c2  +  m02.c4   =                            +   m02.c4

     (1 – v2/c2)                                                              (1 – v2/c2)

 


                        m02 . v2 . c2  +   m02.c4     m02.c4.v2/c2

p2 . c2  +  m02.c4   =               

                                               (1 – v2/c2)

 

                           m02.c4 

p2 . c2  +  m02.c4   =                            =  ET2

                        (1 – v2/c2)

 

 


       ET  =  E0 + EC  =  ( p2 . c2  +  m02.c4 )                    " Expression relativiste

 

 

 

Le cas d’un photon :

 

m0 = 0                         E0 = m0 . c2 = 0          

 

?? Le photon n’aurait pas d’énergie ?   Si !!

 

ET  =  E0 + EC  =  ( p2 . c2  +  m02.c4 ) 

 

      =  ( p2 . c2 )  =  p . c

 

p  =  ET /c             

 

 

" Le photon transporte de l’énergie et d’impulsion.

 

 

 

Calcul des énergies au repos :

 

Particule :

Masse :

Énergie au repos : E0 = m0 . c2

Électron

9,1 . 10–31 kg

511 keV

Nucléon

1 u.m.a = 1,66 . 10–27 kg

931,5 MeV

Proton

1,00782 u.m.a

938,272 MeV

Neutron

1,00866 u.m.a

939,563 MeV

 

                   m0 Électron  »  1/2000 . m0 Nucléon

 

       Þ        E0 Électron  »  1/2000 . E0 Nucléon

 

Explication de E = m . c2 :

 

             A                             A                                0

Rayonnement b+ :             X         ®        Y*   +   b+   +   n

             Z                                           Z–1              +1

b+ : positron = anti–électron

 

Ce b+ est émis avec une certaine impulsion dans la matière. Il y est freiné au point que sa vitesse devient nulle. Il va être attiré par le premier électron qui passe (attraction de 2 charges électriques opposées) Ils vont se regrouper en un point précis :

 


    g1

 

g1

                                                 ( b+ ; )             "        émission de photons g.

 

Conservation de l’énergie :                       E  =  2 . m0 . c2  =  Eg1 + Eg2

 

L’impulsion d’entrée  =  l’impulsion de sortie

      

                                          pE  =  pS                                  pE  =  0

                                                                                             Ils sont à l’arrêt

 

                                          0   =   pS    =   p g1  +   p g2

 

                                          |p g1|  +  |p g2|  =    E g1 /c  +  E g2 /c

 

                   E g1  =  – E g2              (angle à 180°)

 

                   E g1  =  E g2  =  m0 . c2  =  511 keV

Application :         IM par émission gg.

On prend un noyau (ou atome) émetteur b+ que l’on insert dans une molécule biologique et on l’intègre dans l’organisme.

On place le patient dans un cylindre (= ensemble de détecteurs de g) appelé caméra TEP.

Les capteurs détectent les photons g0 à partir des g détectés à 180 ° et d’énergie 511 keV.

On arrive à converger vers l’organe où la molécule s’est intégrée.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


" Visualisation de l’organe qui a fixé la molécule marquée.

 

Exemple d’application sur le cerveau :

La maladie de Parkinson résulte de la perte de neurones dopaminergiques. Ces neurones sont caractérisés par la fixation de Fluor.

 

Lorsque l’on effectue une greffe, on vérifie son évolution en injectant au patient du 18Fluor qui émet des b+. Si, lors de l’IRM, on observe des taches signifiant un rayonnement g, cela indique que la greffe a pris.

 

En demandant au patient de penser à des souvenirs datant de 10 ans, on voit évoluer les tâches nous permettant de visualiser la ou les zones qui travaillent.

 

v Rayonnement électromagnétique : Onde & corpuscule :

Ø  Notion d’ondes et de particule :

 

La particule :         Objet massique, localisé : x ; y ; z ; t

                               " de là, on peut déterminer sa vitesse v : vX ; vY ; vZ ; t

L’onde :     Perturbation – Déformation – Vibration

                   Elle n’est pas localisable.        

De ce fait, elle est difficile à définir...

On travaillera avec l’exemple le plus simple : le mouvement ondulatoire de la corde.

 

Ø  Propriété ondulatoire : la propagation :

 

Prenons notre exemple : pour une corde que l’on fait onduler selon un mouvement sinusoïdal entretenu, on peut définir par une fonction : Y( x, t )  =  a . sin( w.t – k.x )

 


                                                                                                                             x à un temps t.

                                                                                                                                (" photo)

Y(x, t) :     Déformation,

w :       Pulsation,

t :        Date,

k. :      Vecteur d’onde,

x :        Position.

 

§  Périodicité :

 

Périodicité temporelle :    Il existe un temps T tel que : Y( x, t+T )  =  Y( x, t )

a . sin[ w.(t+T) – k.x ]  =  a . sin( w.t – k.x )

 

 


                                   q                                              ( q + q )

 

                                   q

           

 

 

           

                        " sin( q + q )  ¹  sin( q ) + sin( q’ )

 

 

 


                                                                                  " sin( q + 2π )  =  sin ( q )

 

 

 

 

 

            Û       w.t + w.T – k.x  =  w.t – k.x + n.2π                                  (à n tours près ;

      pour faciliter l’équation,

            Û       w.t + w.Tk.x  =  w.t – k.x + 2π                      on prend n = 1)

 

            Û       w.T  =  2π                 Û       T  =  2π/w

 

Périodicité spatiale :         

 

            l

 

 

 

 

 

Il existe une longueur l telle que :         Y( x+l, t )  =  Y( x, t )

a . sin[ w.t – k.(x+l) ]  =  a . sin( w.t – k.x )

            Û       w.t – k.x  k.l   =  w.t – k.x + n.2π                    (à n tours près ;

      pour faciliter l’équation,

            Û       w.t – k.x k.l  =  w.t – k.x – 2π                      on prend n = –1)

 

            Û       k.l  =  2π                 Û       l  =  2π/k

                                                                       = longueur d’onde

 

Y( x, t )  ;  Y( x, t+dt )

                                                                   x    x+dx                                              

 

 

 

 

 

 


Y( x, t )  =  Y( x+dx , t+dt )

 

a . sin( w.t – k.x )  =  a . sin[ w.(t+dt) – k.(x+dx) ]

 

Û        w.t – k.x  =  w.t + w.dt k.xk.dx

 

Û        w.dt  =  k.dx

 

Or, la vitesse :    v  =  dx /dt  =  w/k

 

                                               2π/T

                                          =               

     2π/l

                                          =  (2π/T) . (l/2π)     

 

      v    =  l/T            Þ        l  =  v . T

et avec la vitesse de la lumière :

                       l  =  c . T

 

§  Interférence :

 

Écran

Exemple :

                                            S1                                                             point P

                              

       Source

 

 

                                            S2

 

 

 

 

 

 

 

 


          "  Interférence destructive                                              "  Interférence constructive

       (il n’y a pas de tache lumineuse au point P)               (il y a une tache lumineuse au point P)

 

La nature des interférences dépend de la distance source – écran et du temps.

 

                       l                  2l                                                Si : S2 – S1 = n.l

                                                                                                     " Interférence constructive.

 

                                                                                                     Si : S2 – S1 = n.l + l/2

                                                                                                     " Interférence destructive.

                                      l/2

 

§  Diffraction :

Écran

 


 lumière par

Propagation rectiligne

 

 


Lumière par

  diffraction

 

 

 

Ø  Propriété corpusculaire :

§  Démonstration par des exemples :

·          Éclairage de la roue à barreaux :

 

Soit une roue aux frottements négligeables (roulement à bille) et bien équilibrée.

On pose sur chaque barreau :

-          Une feuille de papier noir (sur un coté)

-          Et une feuille d’aluminium (sur l’autre coté)

 

 

 

 

 

 

 


Quand on allume la lampe, la roue se met en mouvement.

Cela démontre qu’il y a transport de quantité de mouvement (impulsion et énergie)

 

·          La cellule photoélectrique :

 


Intensité

                                                                               A

 

                                                           Anode

                           Photons                          électrons                 V                           +

                                                                                                                              ˉ

                                                           Cathode

 

 

Lorsque l’on allume la lumière, on mesure une intensité électrique.

 

Les photons qui frappent la cathode arrachent des électrons.

Cela démontre un état corpusculaire des photons à une certaine énergie (à une certaine longueur d’onde)

                                                                    Anode

F  =  q . E

                                         

F est la force créée                         E           F

par le potentiel                                                     Électron

du générateur.                                                     

                                                                    Cathode

 


q est négatif, le champ électrique E est dans le sens opposé de la force F.

 

Si le potentiel de la pile n’est pas assez puissant, alors le champ n’est pas puissant. La probabilité que les électrons arrachés soient récupérés par l’anode est, elle aussi, réduite. Les électrons peuvent être réabsorbés soit dans la cathode, soit dans le gaz résiduel.

 

                               I

                                                                                         I1

 

                                                                                         I2  < I1

 

 

 

 

 


Lorsque l’on utilise des filtres, limitant la lumière à certaines longueurs d’ondes, il n’y a plus d’électricité.

                               E g =  h . n                              Te  =  h . n – EL

                                                                                  = énergie cinétique des électrons

 

                               U0  =  Potentiel d’arrêt          EL = Énergie de liaison des électrons

                   q . U0  =  h . n  – EL

 

Un photon correspond à un quantum d’énergie :

 

                   E  =  h . n  =  h . c / l  =  12397 eV.Å / l (en Å)

 

Pour un champ uniforme :

                                                                 

F  =  q . E  =  – dEP /dx  . uX              E  =  – dV/dx  . uX                  |E| = V/d

 

 

Si  EPhoton  <  EL  ,  il n’y a pas d’électrons d’arrachés    "  Intensité est nulle.

 

Exemple :

 

l  =  7 000 Å (par un filtre)           "        E g » 1,77 eV

                                                      "        I = 0

Si l  <  7 000 Å                 "        I ¹ 0

 

 

Cellule à vide :

 

                   I

 

 

 

 

 

                                                                              V

 

 

 

Cellule à gaz :

 

                   I

                                                                                         Quand Te > ELiaison moléculaire ,

 


                                                                                                     il y a une ionisation.

 

                                                                                         ½ m . v2  =  q . V

                                                                              V

                                          Potentiel d’ionisation

 

 

Interactions du rayonnement avec la matière

 

Dans la matière, on rencontre des particules massives et chargées : les électrons, les ions, les particules α, … et des particules neutres massives : les neutron et non massives : les photons.

 

L’existence de différentes particules induit l’existence de différentes interactions.

 

Les particules chargées       "   Interaction coulombienne avec les électrons.

Les particules neutres :

                   Neutrons         "   Interaction nucléaire (probabilité très faible)

Photons           "  Interaction électromagnétique avec les électrons mais non coulombienne.

 

v Interactions photon – matière :

 

Soit un matériau d’une épaisseur e

                              

                  

 

 

                   N0                                                      N(e)      < N0

                                                                              (absorption dans la matière)

 

 

                                                  dx

 

 

 

                   N(x)                                                     N(x + dx)

 

 

 

 

dN  =  N(x + dx) – N(x)                                   (dN est négatif)

 

Soit µ, la probabilité d’interaction d’un photon par unité de longueur de matériau traversé :

 

                               dN  =    µ . dx . N(x)

 

On prend un dx tendant vers 0, permettant un calcul infinitésimal. On obtient alors une équation différentielle du 1er ordre :

 

                               dN/dx  +  µ . N(x)  =  0

                               dN/ N(x)  =  µ . dx

"    dN/ N(x)  =  µ . dx

                              

                               Ln (N)  =  µ . x + C

                               N  =  exp(– µ . x + C) 

 

N  =  exp(C) . exp(– µ . x)

 

Détermination de exp(C) :            Avec les conditions initiales : N(0) = N0

                               N(0)  =  exp(C) . exp(0)

                               N(0)  =  exp(C)

 

Þ        N(e)  =  N0 . exp(– µ . e)

 

                                                       0         x1                 x2

 

 

                                          g

                               S                                                                                Détecteur

                                                  N0

 

N(x1)           N(x2)

N( x1)  =  N0 . exp(– µ . x1)

N( x2)  =  N0 . exp(– µ . x2)

                                                                         Ln N

 

Ln N( x1)  =  µ . x1 + Ln N0                                               pente = – µ

Ln N( x2)  =  µ . x2 + Ln N0

                                                                                                                              x

Qu’est – ce que µ ?

 

Il s’agit du processus d’interaction des photons dans la matière.

 

3 Processus :

-          Effet photo–électrique,

-          Effet Compton,

-          Matérialisation (= création de paires eˉ; e+)

 

Ø  Effet photo–électrique :

 

Eg                             

                                                      Te = Eg – EL

 

                                                      Il est dominant à basse énergie : Eg inférieur à 500 keV.

                                                      Il s’agit d’un processus à seuil : Eg > EL

 


Probabilité                           Couche L

 

                                                                  Couche K

 

 

 

                  

Eg

 

De plus, il y a une réorganisation du cortège électronique :

 

 

 


                  

                                                                                                     Rayons X

                                                                                         ou électron Auger

                                         L       K

 

 

 

 

 

Ø  Effet Compton :

 

Il est dominant pour Eg » 1 MeV.            On parle de diffusion :

Il est basé sur la conservation de l’énergie et d’impulsion.

 

                                                                              g        Eg’ ; Pg

                                                                                q

                   Eg ; Pg                           E0

                                  g                                    j

 

                                                                                Te ; E0 ; Pe

                                                                      

 

E0  =  me . c2                                 Eg  =  Pg . c              

 

Équation de la relativité :  ETotale2  =  Pe2 . c2 + E02.

 

              (E0 + T)2  =   E02 + T2 + 2 W0 T              "   E02 + T2 + 2 E0T   =   Pe2 . c2 + E02

 

 "   Pe2 . c2   =   T2 + 2 E0T

 

Conservation de  ETotale :             Eg + E0  =  Eg’ + E0 + Te                            Eg  =  Eg’ + Te.

 

Il s’agit de la conservation d’énergie classique que l’on retrouve dans toute diffusion élastique.

 


Conservation de  P :         Pg  =  Pg’ + Pe                       

 

Y

 

 


                   Pg                                          q

 

                                                                  j

 

 

 

                                                                                                                 X

Projections sur les axes :    x :    Pg   =   Pg’ . cosq  +  Pe . cosj

                                          y :    0   =   Pg’ . sinq    Pe . sinj

Mais on a plusieurs inconnues : Eg’ ; Te ; q ; j

 

" Eg’ est fonction de Eg et de q.

 

 

Pe2      =  (Pg – Pg’.cosq)2  +  (Pg2 . sin2q)

 

                   =  Pg 2 + Pg 2.cos2q – 2.Pg.Pg’.cosq  +  Pg 2.sin 2q

 

Pe2      =  Pg 2 + Pg 2 – 2.Pg.Pg’.cosq

 

Pe2 . c2  =  Pg 2. c2 + Pg 2. c2 – 2 . Pg. c2 . Pg. c2 . cosq

 

 

Eg2  =  Pg 2 . Pg 2 + m02 . c4

 

 

Pour un photon :     Eg   =   Pg . c

 

Pour un électron :    Ee2   =   Pe2 . c2  +  m02 . c4   =   (m0 . c2 + Te )2

                                                                               =   m02.c4 + Te2 + 2.Te.m0 . c2

 

     Pe2 . c2              =  Te . (Te + 2.m0.c2)

=  Pg 2. c2 + Pg 2. c2 – 2 . Pg. c2 . Pg. c2 . cosq

 

Te . (Te + 2.m0.c2)  =  Eg2  +  Eg2    2 . Eg2 . Eg2 . cosq

                               =  (Eg – Eg’)  (Eg – Eg’ + 2.m0.c2)

                               =  Eg2 – Eg.Eg’ + 2.Eg.m0.c2 – Eg.Eg+ Eg2 – 2.Eg’.m0.c2

 

– 2.Eg.Eg’.cosq   =  –2.Eg.Eg’ + (Eg–Eg’).2.m0.c2

 


2.Eg.Eg’.(1–cosq)  =  (Eg–Eg’) . 2.m0.c2

 


1/( m0.c2)  . (1–cosq)  =  (Eg–Eg’) /(Eg.Eg’)

                                          =  (Eg) /(Eg.Eg’) – (Eg’) /(Eg.Eg’)

 

1/( m0.c2) . (1–cosq)  =  1/Eg’ – 1/Eg

 

Si q = 0 :

 

                   1/Eg’ – 1/Eg  =  0      "        Eg= Eg

                   Et comme : Eg = Eg’ + Te      Alors : Te = 0

 

Si q = 180 :

 

 

" Il s’agit d’un cas limite.

 

1/Eg’ – 1/Eg  =  2 /511                     m0c2 = 511 keV          (1–cosq) = 2

Et comme : Eg = Eg’ + Te      Alors : Te = Eg – Eg

 

 

Exemple :

 

137Cs    "    E = 662 keV

       Effet photo–électrique :         E = EL  +  Te  "  E Transférée au milieu

       Effet Compton :                     E Transférée à l’électron va de T=0 à TMAX

 

1/Eg’ – 1/662  =  2/511        "        Eg’ = 185 keV             Eg = Eg’ + Te

        (" Max de l’énergie transférée par le photon)

 

"    TMAX = 478 keV

 

 

 

                                                                              Maximum

 

 

 

                         Plateau Compton

                                                                                         Effet photo–électrique

                               Effet Compton

 

                                                                                                           Énergie déposée

                                                       TMAX              Eg

 

1/Eg’ – 1/Eg  =  1/( m0.c2) . (1–cosq)  =  (1–cosq) /511

 

 

Cas de Eg très grand :

                                          Eg >> 511 keV

 

 

                               1/Eg << 1/511           Donc :             1/Eg »  (1–cosq)/511

Eg  »  511 keV

"  Te  =  Eg – Eg »  Eg     

 

Par effet Compton, si l’énergie du photon est grande, ce photon transmet une grande énergie Te @ Eg dans la matière.

 

 

Cas de Eg très petit :

                                          Eg << 511 keV

 

                              

1/Eg >> 1/511           Donc :             1/Eg  »  1/Eg

"   Eg»  Eg

 

Si  Eg  <<  511 keV,    Alors, il y a diffusion :

 

                                                                                         Eg@ Eg

 

 

 

 


L’électron a une énergie bien supérieure à celle du photon. Il ne bouge pas (ou peu) lors du choc et le photon est diffusé.

 

 

 

Ø  Matérialisation :

 

La masse peut être transformée en énergie. Le sens inverse est aussi possible. On suppose que c’est ce qui s’est passé lors du Big–Bang.

                                                                              e +

                   Énergie E

 

 

                                                                              e ˉ

  E   =  m . c2  +  me+ . c2  +  T  +  Te+                      

       =  2 me . c2  +  T  +  Te+                             E  >  2 me . c2 

                                                                                         = 1,022 MeV

 

Cet effet est dit « à seuil » : il faut au minimum d’ 1,022 MeV d’énergie

 

 

                                          Photons :              Eg1                                                          Eg2

                                                                                         ( e + ; de la matière)

                                                                              e +          Ralentissement

                   Énergie E

 

 

                                                                              e ˉ

 

 EDétectée              =    T  +  Te+                      

                   =   E    2 . 511 keV

 

 

N (ED) = N fois que l’on

détecte telle énergie

                                                                              Aucun photon perdu *

 

                                                            1 photon perdu *

 

                                          2 photons perdus *

                                                                               511 keV

                                                                  2 . 511 keV

 

 

 


  EDétectée 

 

* : dans le détecteur.

 

Ø  Réaction nucléaire :

 

Il s’agit d’interactions photon – noyau mais elles sont marginales (rares)

 

       Photon g     +     ( A ; Z )      Þ        Neutron n      +          ( A –1 ; Z )

 

 

Par exemple :  les atomes de Carbone et d’Oxygène :

       Photon g     +        126C       Þ        Neutron n      +          116C    (émetteur b+ )

       Photon g     +        168O       Þ        Neutron n      +          158O   

 

 

 

 

 

 

 

 


                              

                               N0                          x               N(x)  =